Question

如圖，已知橢圓的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點．

（Ⅰ）若點G的橫坐標為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點）的面積為S₂．
試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）不存在直線，使得 ．        12分

試題分析：（Ⅰ）依題意，直線的斜率存在，設其方程為．
將其代入，
整理得 ．
設，，  所以 ．        4分
故點的橫坐標為．
依題意，得，
解得 ．           6分
（Ⅱ）解：假設存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直．

由（Ⅰ）可得 ．
因為 ，所以 ，
解得 ，      即 ．
因為 △∽△，
所以 ．
所以 ，
整理得 ．
因為此方程無解，所以不存在直線，使得 ．        12分
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用弦長公式，確定得到三角形面積表達式，實現對“存在性問題”的研究。