Question

已知函數（，）的圖象恒過定點，橢圓：
（）的左，右焦點分別為，，直線經過點且與⊙：相切．
（1）求直線的方程；
（2）若直線經過點并與橢圓在軸上方的交點為，且，求內切圓的方程．

Answer 1

（1），或   （2）

試題分析：（Ⅰ）易知定點，⊙的圓心為，半徑．
①當軸時，的方程為，易知和⊙相切．
②當與軸不垂直時，設的方程為，即，
圓心到的距離為． 由和⊙相切，得，解得．         
于是的方程為．綜上，得直線的方程為，或．      
（Ⅱ）設，，則由，得．
又由直線的斜率為，得，．   
于是．
有，是等腰三角形，點是橢圓的上頂點．易知．                                        
于是內切圓的圓心在線段上．設，內切圓半徑為．則，
由點到直線的距離，解得．                                                          
故內切圓的方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．