Question

【題目】已知函數，，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數．若函數在內恰有2個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調遞增區間為和，單調遞減區間為．（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）當時，，求出切點坐標和切線斜率，通過直線的點斜式方程可求出切線方程。

（Ⅱ）對函數求導，由導函數的正負求單調性，同時注意對參數的討論。

（Ⅲ）由題可知函數在內單調遞減，當時，，則函數無零點。再對當，當的情況進行分類討論，最后得到答案。

解：（Ⅰ）當時，，

∴．

∵，，

∴曲線在點處的切線方程為，

即切線方程為．

（Ⅱ）由已知得，

（1）當時，，

∴函數在內單調遞增．

（2）當時，令，

解得或．

由，解得或，

由，解得．

∴函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．

（Ⅲ）∵函數的定義域為．

∴． ∴函數在內單調遞減．

（1）當時，，

依題意，，則函數無零點．

（2）當時，，，

①若，即，則是函數的一個零點；

②若，即，則不是函數的零點；

（3）當時，，只需考慮函數在）內零點的情況．

∵，

①當時，，函數在內單調遞增．

又，

（ⅰ）當時，，函數在內無零點；

（ⅱ）當時，，

又，

此時函數在內恰有一個零點；

②當時，由（Ⅱ）知，函數在內單調遞減，在內單調遞增．

∵，

，

∴此時函數在內恰有一個零點．

綜上，實數的取值范圍是．