Question

【題目】設函數.

（1）若在點處的切線為，求的值；

（2）求的單調區間；

（3）若，求證：在時，.

Answer 1

【答案】(1) 切線方程得：,(2) 當時，的單調減區間為；當時，的單調減區間為，單調增區間為；（3）見解析．

．

【解析】試題分析:

（I）通過f（x）在點（e，f（e））處的切線為x﹣ey+b=0，可得f′（e）= ，解得 ，再將切點（e，﹣1）代入切線方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；

（II）由（I）知：f′（x）＝ （x＞0），結合導數分①a≤0、②a＞0兩種情況討論即可；

（III）通過變形，只需證明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，利用g′（x）= ，根據指數函數及冪函數的性質、函數的單調性及零點判定定理即得結論．

（1）∵，∴，

又在點的切線的斜率為，∴，∴，

∴切點為把切點代入切線方程得：；

（2）由（1）知：①當時，在上恒成立，

∴在上是單調減函數，②當時，令，解得：，當變化時，隨變化情況如下表：當時，單調減，當時，，單單調增，綜上所述：當時，的單調減區間為；當時，的單調減區間為，單調增區間為.

(3)當時，要證，即證，令，只需證，∵由指數函數及冪函數的性質知：在上是增函數又，，∴，在內存在唯一的零點，也即在上有唯一零點設的零點為，則，即，由的單調性知：當時，，為減函數當時，，為增函數，所以當時，，又，等號不成立，∴.

點睛: 本題考查求函數解析式，函數的單調性，零點的存在性定理，(1)利用導數的幾何意義；（2）研究單調性，即研究導函數的正負；（2）：證明恒成立，轉化為函數最值問題．