Question

【題目】在數列中，已知，對于任意的，有.

（1）求數列的通項公式.

（2）若數列滿足，求數列的通項公式.

（3）設，是否存在實數，當時，恒成立？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

(1)取，，則.所以，即是公差為2，首項為2的等差數列.再求數列的通項.(2)利用作差法求數列的通項公式.(3)

由題意得：，假設存在，使，化簡得

，再對n分奇數和偶數兩種情況討論，分別分離參數求出

(1)取，，則.

所以，即是公差為2，首項為2的等差數列.

所以.檢驗對任意成立。

(2)因為 ①

所以.②

①—②得：，所以.

當時，，所以，滿足上式.

所以.

(3)由題意得：，

假設存在，使，

則.

所以.

所以.

若為正偶數時，恒成立，

則，

所以.

所以.

若為正奇數時，恒成立，

則，

所以.

所以.

綜上可知，存在實數.使時，恒成立.