Question

【題目】已知函數f（x）＝（x﹣1）2﹣alnx（a＜0）.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2（x1＜x2），且關于x的方程f（x）＝b（b∈R）恰有三個實數根x3，x4，x5（x3＜x4＜x5），求證：2（x2﹣x1）＞x5﹣x3.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得f′(x)，令f′(x)＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，分兩種情況①≤0，②＞0，討論f(x)單調性；

（2）由題意得a＜0，畫出草圖，知0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，要證：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即證：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)，只需證：，先證：x3+x4＞2x1.即證x4＞2x1﹣x3，由（1）f(x)單調遞減，只需證f(x4)＜f(2x1﹣x3)，即證：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，求導數，分析單調性，可得g(x)＜g(x1)＝0，故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，f(x3)＜f(2x1﹣x3)得證，同理可以證明：x3+x4＜2x2，綜上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得證.

（1）由題意得＝2(x﹣1)，

令＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，

①當a時，≤0，≥0，函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增，

②當a＜0時，＞0，

2x2﹣2x﹣a＝0的兩根為x1，x2且0＜x1x2，

當x∈(0，)，(，+∞）時，＞0，f(x)單調遞增，

當x∈(，)時，＜0，f(x)單調遞減，

綜上，當a時，函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增，

當a＜0時，f（x）在(0，）上單調遞增，在(，）上單調遞減，在(，+∞)上單調遞增.

（2）證明：由題意得a＜0，0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，如圖，

要證：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，

即證：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)；

只需證：

先證：x3+x4＞2x1.

即證x4＞2x1﹣x3，

又由（1）知f(x)在(x1，x2)上單調遞減，

只需證f(x4)＜f(2x1﹣x3)，

而f(x4)＝f(x3)，即證：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，

令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，

＝+＝2x﹣22(2x1﹣x)﹣2，

＝4(x1﹣1)

又2(x1﹣1)0，即x1﹣1，那么，

，而0＜x＜x1，且，

則＞0，故g(x)在(0，x1)單調遞增，則g(x)＜g(x1)＝0，

故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，

又0＜x3＜x1，則f(x3)＜f(2x1﹣x3)得證，

同理可以證明：x3+x4＜2x2，

綜上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得證.