Question

【題目】已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點的雙曲線Γ經過B，C兩點.若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先畫出大致圖象，結合雙曲線的定義以及余弦定理求得a，c之間的關系即可得到結論.

如圖：連接AC，BD，設雙曲線的焦距AD＝2c，實軸長為2a，

則BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，

設AB＝m，則CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，

在△ABD中，由余弦定理及題設可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，

在△ACD中，由余弦定理及題設可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，

整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），

兩式相結合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，

∴雙曲線Γ的離心率為e.

故選：A.