Question

【題目】函數的定義域為，并滿足以下條件：①對任意，有；②對任意，有；③.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：在上是單調增函數；

（Ⅲ）若，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）利用賦值法即可求出的值；

（2）利用函數單調性的定義以及指數函數的性質，即可證明；

或者構造函數利用指數函數的單調性即可證明；

（3）構造基本不等式的模型，利用不等式性質即可證明．

解法一：

(Ⅰ)令得：

因為，所以；

（Ⅱ）任取且設則

因為，所以，

所以在上是單調增函數；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因為

又，

所以

所以

解法二：

(Ⅰ)因為對任意，有，且對任意，

所以，當時

故．

（Ⅱ）因為，所以

所以在上是單調增函數，即在上是單調增函數

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

而，所以

所以