Question

【題目】已知函數f（x）= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c= ，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= sin2x﹣（cos2x+1）﹣1= sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣ ）﹣2， ∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣ ）≤1，
∴f（x）的最小正周期T=π；最小值為﹣4；
（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C﹣ ）﹣2=0，
∴sin（2C﹣ ）=1，
∵C∈（0，π），∴2C﹣ ∈（﹣ ， ），
∴2C﹣ = ，即C= ，
將sinB=2sinA，利用正弦定理化簡得：b=2a，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2 ，
把c= 代入得：a=1，b=2
【解析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出函數f（x）的最小正周期，利用正弦函數的值域確定出f（x）最小值即可；（Ⅱ）由f（C）=0及第一問化簡得到的解析式，求出C的度數，利用正弦定理化簡sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出關系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a與b的值．