Question

【題目】大學開設甲、乙、丙三門選修課供學生任意選修（也可不選），假設學生是否選修哪門課彼此互不影響．已知某學生只選修甲一門課的概率為0.08，選修甲和乙兩門課的概率為0.12，至少選修一門的概率是0.88．
（1）求該學生選修甲、乙、丙的概率分別是多少？
（2）用ξ表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z

由題意知 ，

解之得 ，

∴該學生選修甲、乙、丙的概率分別是0.4，0.6，0.5．

（2）解：依題意知ξ的可能取值為0，2，

∴P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24，

∴P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76

（或：僅僅選甲的概率為0.08，僅僅選乙概率為0.18，僅僅選丙的概率為0.12，合計為0.38，同樣僅僅不選甲、僅僅不選乙、僅僅不選丙的概率和也為0.38，故P（ξ=2）=0.38+0.38=0.76）

則ξ的分布列為

ξ	0	2
P	0.24	0.76

∴ξ的數學期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．

【解析】（1）設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z，利用相互獨立事件概率乘法公式和對立事件概率計算公式列出方程組，能求出該學生選修甲、乙、丙的概率．（2）依題意知ξ的可能取值為0，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．
【考點精析】通過靈活運用離散型隨機變量及其分布列，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列即可以解答此題．