Question

已知f(x)是偶函數，且f(x)在[0，＋∞)上是增函數，若x∈時，不等式f(1＋xlog₂a)≤f(x－2)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

≤a≤1

∵f(x)是偶函數，當x∈時，不等式f(1＋xlog₂a)≤f(x－2)等價于f(|1＋xlog₂a|)≤f(2－x)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函數，∴|1＋xlog₂a|≤2－x，
∴x－2≤1＋xlog₂a≤2－x，∴1－≤log₂a≤－1，
上述不等式在x∈上恒成立，∴≤log₂a≤，
∴－2≤log₂a≤0，解得≤a≤1.