Question

已知函數對任意實數恒有且當時，有且.
(1)判斷的奇偶性；
(2)求在區間上的最大值；
(3)解關于的不等式.

Answer 1

(1)奇函數；(2)；
(3)當時，
當時，
當時，
當時,

試題分析：(1)賦值法：先令，再令
(2)根據 以及當 時，有 ，利用函數單調性的定義判斷得出為上的減函數；并由單調性求其最值;
(3)由（1）和（2）的結論，先將不等式化為；再由函數的單調性轉化為 關于的不等式對的不同取值，分別討論不等式的解.
試題解析：解（1）取則
取
對任意恒成立 ∴為奇函數.
（2）任取， 則 

 又為奇函數 
∴在（－∞，+∞）上是減函數.
對任意，恒有
而
∴在[－3，3]上的最大值為6
（3）∵為奇函數，∴整理原式得
進一步可得 
而在（－∞，+∞）上是減函數，
 
當時，
當時，
當時，
當時,