【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是矩形，面
底面
，且
是邊長為
的等邊三角形， 
在
上，且
面
.
（1）求證: 
是
的中點；
（2）在
上是否存在點
，使二面角
為直角？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1) 見解析;(2) 
.
【解析】試題分析：(1)連
交
于
可得
是
中點，再根據
面
可得
進而根據中位線定理可得結果；(2)取
中點
，由（1）知
兩兩垂直. 以
為原點， 
所在直線分別為
軸, 
軸， 
軸建立空間直角坐標系，求出面
的一個法向量
，用
表示面
的一個法向量
，由
可得結果.
試題解析：(1)證明：連
交
于
，連
是矩形， 
是
中點.又
面
，且
是面
與面
的交線， 
是
的中點.
(2)取
中點
，由（1）知
兩兩垂直. 以
為原點， 
所在直線分別為
軸，
軸， 
軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為
.
設存在
滿足要求，且
，則由
得： 
，面
的一個法向量為
，面
的一個法向量為
，由
，得
，解得
，故存在
，使二面角
為直角，此時
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查人們在購物時的支付習慣，某超市對隨機抽取的600名顧客的支付方式進行了統計，數據如下表所示：
支付方式 | 微信 | 支付寶 | 購物卡 | 現金 |
人數 | 200 | 150 | 150 | 100 |
現有甲、乙、丙三人將進入該超市購物，各人支付方式相互獨立，假設以頻率近似代替概率.
（1）求三人中使用微信支付的人數多于現金支付人數的概率；
（2）記
為三人中使用支付寶支付的人數，求的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（1）求函數
的極值
（2）定義：若函數
在區間
上的取值范圍為，則稱區間為函數的“美麗區間”．試問函數在
上是否存在“美麗區間”？若存在，求出所有符合條件的“美麗區間”；若不存在，請說明理由
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，PA⊥底面ABCD,AD||BC,AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中點．
（1）求證：AM||平面PCD；
（2）求證：平面ACM⊥平面PAB；
（3）若PC與平面ACM所成角為30°，求PA的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】被嘉定著名學者錢大昕贊譽為“國朝算學第一”的清朝數學家梅文鼎曾創造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為
的正方體
中，點
為棱上的四等分點.
（1）求該方燈體的體積；
（2）求直線
和
的所成角；
（3）求直線
和平面
的所成角．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小趙和小王約定在早上
至
之間到某公交站搭乘公交車去上學，已知在這段時間內，共有
班公交車到達該站，到站的時間分別為
，，如果他們約定見車就搭乘，則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】.口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，否則算乙贏．
（Ⅰ）求甲贏且編號的和為6的事件發生的概率；
（Ⅱ）這種游戲規則公平嗎?試說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖象過點
。
（1）求
的值并求函數
的值域；
（2）若關于
的方程
有實根，求實數
的取值范圍；
（3）若函數
， 
，則是否存在實數
，使得函數
的最大值為0？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由。
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