Question

【題目】等比數列的前項和為，已知對任意的，點均在函數（且， 均為常數）的圖象上．
（1）求的值；

（2）當時，記，證明：對任意的，不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析： (1)由已知中因為對任意的，點，均在函數且均為常數的圖象上，根據數列中與的關系，我們易得到一個關于的方程，再由數列為對等比數列即可得到的值；（2）將代入，我們可以得到數列的通項公式，再由，我們可給數列的通項公式，進而可將不等式進行簡化，然后利用數學歸納法對其進行證明.

試題解析：（1）由題意， ，當時， ，所以

且，所以時， 是以為公比的等比數列，

又， ， ，即，解得.

（2）當時，由（1）知，因此，

所以不等式為

①當時，左式，右式，左式>右式，所以結論成立

②假設時結論成立，即，

則當時，

要證當時結論成立，只需證成立，

只需證： 成立，顯然成立，

∴當時， 成立，綜合①②可知不等式成立．