Question

【題目】設橢圓的右焦點為，過的直線與相交于兩點.

（1）若，求的方程；

（2）設過點作軸的垂線交于另一點，若是的外心，證明:為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，設直線的方程為，代入橢圓方程消，根據韋達定理求出兩根之和、兩根之積，由，可得，兩根之和、兩根之積即可求解.

（2）由（1）得的中點坐標為，利用弦長公式求出，根據題意可得的垂直平分線方程，求出點的坐標，進而求出，進而可求解.

（1）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設直線的方程為，

代入得，

設，則，

若，則，解得，

所以，的方程為

（2）由（1）得的中點坐標為

所以

因為是的外心，所以是線段的垂直平分線與的垂直平分線的交點，

的垂直平分線為

令，得，即，

所以，

，所以為定值.