Question

【題目】由于《中國詩詞大會》節目在社會上反響良好，某地也模仿并舉辦民間詩詞大會，進入正賽的條件為：電腦隨機抽取10首古詩，參賽者能夠正確背誦6首及以上的進入正賽．若詩詞愛好者甲、乙參賽，他們背誦每一首古詩正確的概率均為．

（1）求甲進入正賽的概率．

（2）若參賽者甲、乙都進入了正賽，現有兩種賽制可供甲、乙進行PK，淘汰其中一人．

賽制一：積分淘汰制，電腦隨機抽取4首古詩，每首古詩背誦正確加2分，錯誤減1分．由于難度增加，甲背誦每首古詩正確的概率為，乙背誦每首古詩正確的概率為，設甲的得分為，乙的得分為．

賽制二：對詩淘汰制，甲、乙輪流互出詩名，由對方背誦且互不影響，乙出題，甲回答正確的概率為0.3，甲出題，乙回答正確的概率為0.4，誰先背誦錯誤誰先出局．

（i）賽制一中，求甲、乙得分的均值，并預測誰會被淘汰；

（ii）賽制二中，誰先出題甲獲勝的概率大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i），0，乙可能被淘汰；（ii）甲先出題甲獲勝的概率大．

【解析】

（1）利用相互獨立事件的概率公式求解；

（2）（i）分別寫出的可能取值，求出對應的概率，再求期望，比較大小得出結論；（ii）分別求出甲或乙先出題時，甲乙兩人獲勝的概率，從而得出結論．

(1)甲進入正賽的概率為

，

∴甲進入正賽的概率.

(2)（i）由題意，甲乙兩人的得分均有可能為8分，5分，2分，-1分，-4分．

，

，

，

.

,

,

.

.

，乙可能被淘汰.

（ii）甲先出題且甲獲勝的概率：

，

此為等比數列求和，.

乙先出題且乙獲勝的概率：

，

此為等比數列求和，

則甲獲勝的概率約為.

，甲先出題甲獲勝的概率大．