Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為等腰三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中，另一條過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合. 過(guò)作軸的垂線分別交直線，于,.

①求點(diǎn)坐標(biāo)； ②求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） 見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)已知求出，即得橢圓方程為. （Ⅱ）①由 可求. ②當(dāng)與軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱性，. 當(dāng)不與軸垂直時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓方程證明，即.

（Ⅰ）由已知，，得，，

為等腰三角形， ，

則 解得，

橢圓方程為.

（Ⅱ）①由題意可得直線的方程為.

與橢圓方程聯(lián)立,由 ，可求.

②當(dāng)與軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱性，.

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，

設(shè)，，的方程為（）.

由消去，整理得.

則，.

由已知，，則直線的方程為，

令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).

把代入得.

由已知，，則直線的方程為,

令，得點(diǎn) 的縱坐標(biāo).

把代入得.

,

把，代入到中，

=.

即，即.