Question

已知函數y=

2x2+ax+b

x2+1

的值域[1，3]，求a、b的值．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意，把y=

2x2+ax+b

x2+1

化為（2-y）x²+ax+（b-y）=0；  當y≠2時，利用△≥0時，由根與系數的關系式求出a、b的值；當y=2時，驗證此時a、b的值是否成立即可．

解答： 解：∵y=

2x2+ax+b

x2+1

的定義域為R，
∴2x²+ax+b=yx²+y，
整理得（2-y）x²+ax+（b-y）=0； 
當y≠2時，
△=a²-4（2-y）（b-y）=-4y²+（8+4b）y+（a²-8b）≥0，
由題意，1，3為該方程的兩根，
∴1+3=-

8+4b

-4

…①，
1×3=

a2-8b

-4

…②；
由①②解得a=±2，b=2；
當y=2時，（y-2）x²-ax+（y-b）=0化為ax+b=2，
即±2x+2=2，∴x=0滿足要求；
綜上，a=±2，b=2．

點評：本題考查了利用一元二次方程的判別式求值域的問題，解題時應把函數解析式化為關于y的一元二次方程，利用判別式求解即可，是中檔題．