Question

已知奇函數f（x）=

-x2+4x ， x＞0 0， x=0 x2+mx ， x＜0

．
（1）求實數m的值；
（2）畫出函數y=f（x）的圖象，根據圖象寫出函數y=f（x）的單調區間；
（3）若函數f（x）在區間[-1，a-2]上是單調函數，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的奇偶性建立條件關系，即可求實數m的值；
（2）畫出函數y=f（x）的圖象，根據圖象寫出函數y=f（x）的單調區間；
（3）根據函數的圖象，利用函數f（x）在區間[-1，a-2]上是單調函數，即可確定a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）是奇函數，
∴當x＞0時，-x＜0，則f（-x）=x²-mx=-f（x），
即x²-mx=x²-4x，
則m=4；
（2）∵f（x）=

-x2+4x， x＞0 0， x=0 x2+4x， x＜0

，
∴對應的圖象如圖：
則由圖象可知函數的增區間：（-2，2），減區間（-∞，-2），（2，+∞）；
（3）∵-2＜-1，
∴若函數f（x）在區間[-1，a-2]上是單調函數，
則函數f（x）在區間[-1，a-2]上只能是單增調函數，
則滿足-1＜a-2≤2，
即1＜a≤4，
故a的取值范圍是（1，4]．

點評：本題主要考查分段函數的圖象和性質，利用函數的奇偶性的性質求出m是解決本題的關鍵．