Question

已知拋物線C：y=2x²，直線y=kx+2（k＞0）交C于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線C于點N．
（Ⅰ）若k=2，求N點的坐標；
（Ⅱ）是否存在以AB為直徑的圓經過點N，若存在，求出圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設A(x1，2

x

2 1

)，B(x2，2

x

2 2

)，把y=2x+2代入y=2x²，得x²-x-1=0，由此能求出N點的坐標．
（Ⅱ）假設存在以為AB直徑的圓過點N．則有

NA

•

NB

=0把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．由韋達定理得N點的坐標為(

k

4

，

k2

8

)．

NA

•

NB

=0，得k=2，再橢圓弦長公式能求出圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，設A(x1，2

x

2 1

)，B(x2，2

x

2 2

)，
把y=2x+2代入y=2x²，得x²-x-1=0．…（1分）
由韋達定理得x₁+x₂=1． …（2分）
∴xM=

1

2

，…（3分）
N點的坐標為(

1

2

，

1

2

)．…（5分）
（Ⅱ）假設存在以AB為直徑的圓過點N．則有

NA

•

NB

=0
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．
由韋達定理得x1+x2=

k

2

，x1x2=-1．…（6分）
∴xN=xM=

x1+x2

2

=

k

4

，∴N點的坐標為(

k

4

，

k2

8

)． …（7分）

NA

=(x1-

k

4

，2

x

2 1

-

k2

8

)，

NB

=(x2-

k

4

，2

x

2 2

-

k2

8

)，
則

NA

•

NB

=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+(2

x

2 1

-

k2

8

)(2

x

2 2

-

k2

8

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+4(

x

2 1

-

k2

16

)(

x

2 2

-

k2

16

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)[1+4(x1+

k

4

)(x2+

k

4

)]
=(-1-

k2

16

)(-3+

3

4

k2)=0，…（8分）
∵-1-

k2

16

＜0，∴-3+

3

4

k2=0，解得k=2．…（9分）
則圓心M點的坐標為（

1

2

，3），…（10分）
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

5

=5=2R…（11分）
∴圓的方程為(x-

1

2

)2+(y-3)2=

25

4

．…（12分）

點評：本題考查點的坐標的求法，考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．