Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁，A₁A的中點；
（1）求

BN

的長；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．
（4）求CB₁與平面A₁ABB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標系O-xyz．利用向量法能求出|

BN

|．
（2）分別求出

BA1

=（-1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），利用向量法能求出cos＜

BA1

，

CB1

＞．
（3）由

A1B

=（-1，1，2），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），能證明A₁B⊥C₁M．
（4）由

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0）是平面A₁ABB₁的法向量，

CB1

=（0，1，2），能求出CB₁與平面A₁ABB₁所成的角的余弦值．

解答： （1）解：如圖，建立空間直角坐標系O-xyz．
依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴|

BN

|=

(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2

=

3

．
（2）解：依題意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），
C（0，0，0），B₁（0，1，2），
∴

BA1

=（-1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），

BA1

•

CB1

=3，|

BA1

|=

6

，|

CB1

|=

5

，
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

1

10

30

．
（3）證明：依題意，得C₁（0，0，2），M（

1

2

，

1

2

，2），

A1B

=（-1，1，2），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0）．
∴

A1B

•

C1M

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
∴

A1B

⊥

C1M

，∴A₁B⊥C₁M．
（4）解：∵A₁B⊥C₁M，AA₁⊥C₁M，
∴

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0）是平面A₁ABB₁的法向量，

CB1

=（0，1，2），
設CB₁與平面A₁ABB₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

CB1

，

C1M

＞|=|

1 2

2 2 × 5

|=

1

10

，
∴cosθ=

1- 1 10

=

3 10

10

．
∴CB₁與平面A₁ABB₁所成的角的余弦值為

3 10

10

．

點評：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識．考查空間兩向量垂直的充要條件．