Question

【題目】已知函數(shù) 。

（1）若曲線與在點(diǎn)處的切線互相垂直，求 值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，求得，由，即可求得的值；

（2）由題意，令，分、和三種情形分討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

試題解析：

（1），

由題意，解得.

（2），令，

①當(dāng)時(shí)，在定義域上恒大于沒(méi)有零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在定義域上為增函數(shù)，

因?yàn)?/span>，所以有1個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，

所以時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>且，所以方程在區(qū)間上有一解，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以在上有一解，所以方程在區(qū)間上有兩解，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).