Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，是線段上一點．

（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．

（2）是否存在點，使得平面平面？若存在，請指出點的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，點的坐標為．證明見解析

【解析】

以B為原點建立空間直角坐標系，（1）求出平面BDE的法向量，直線AC的方向向量，求出向量夾角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值；（2）先假設結論成立，分別求出平面平面的法向量，由平面平面可知兩法向量的數量積為0，即可求解點E的位置.

解：不妨設，在平面中作，以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．

（1）因為點是的中點，

所以點的坐標為．

所以，，．

設是平面的法向量，則

即

取，則，所以平面的一個法向量為．

所以，

所以直線與平面所成的角的正弦值為．

（2）假設存在點使得平面平面，設．

顯然，．

設是平面的法向量，則即

取，則，，所以平面的一個法向量為．

因為，所以點的坐標為．

所以，．

設是平面的法向量，則即

取，則，所以平面的一個法向量為．

因為平面平面，所以，即，，解得．

所以的值為2，即當時，平面平面．