Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

Answer 1

(1) +=1   (2) k=±1

解:(1)由題設知,橢圓焦點在x軸上,
∴a=2.
由e==得c=,
∴b²=a²-c²=2.
∴橢圓C的方程為+=1.
(2)由消去y,
整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-4=0.
設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).
則Δ=(-4k²)²-4(1+2k²)(2k²-4)>0(※)
且x₁+x₂=,x₁·x₂=,
∴|MN|=
=
=
=
=
設點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d,
則d=.
∴S_△AMN=|MN|·d==,
解得k=±1,
代入(※)式成立,∴k=±1.