Question

【題目】已知函數 ，m∈R．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區間（﹣2，3）上是減函數，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1時， ，

又f'（x）=x2+2x﹣3，所以f'（2）=5．

又 ，

所以所求切線方程為 ，即15x﹣3y﹣25=0．

所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為15x﹣3y﹣25=0

（2）解：因為f'（x）=x2+2mx﹣3m2，

令f'（x）=0，得x=﹣3m或x=m．

當m=0時，f'（x）=x2≥0恒成立，不符合題意．

當m＞0時，f（x）的單調遞減區間是（﹣3m，m），若f（x）在區間（﹣2，3）上是減函數，

則 解得m≥3．

當m＜0時，f（x）的單調遞減區間是（m，﹣3m），若f（x）在區間（﹣2，3）上是減函數，

則 ，解得m≤﹣2．

綜上所述，實數m的取值范圍是m≥3或m≤﹣2

【解析】（1）把m=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因為曲線的切點為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點坐標，根據切點和斜率寫出切線方程即可；（2）已知f（x）在區間（﹣2，3）上是減函數，即f′（x）≤0在區間（﹣2，3）上恒成立，然后用導數求f（x）的單調遞減區間，再對m進行分類討論建立關于m的不等關系解之即可得到m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．