Question

【題目】已知函數與的定義域為，有下列5個命題：

①若，則的圖象自身關于直線軸對稱；

②與的圖象關于直線對稱；

③函數與的圖象關于軸對稱；

④為奇函數，且圖象關于直線對稱，則周期為2；

⑤為偶函數， 為奇函數，且，則周期為2.

其中正確命題的序號是____________.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】對于①，令t=x2，則2x=t，

由于f(x2)=f(2x)，得f(t)=f(t)，所以函數f(x)是偶函數，

得f(x)的圖象自身關于直線y軸對稱，故①正確；

對于②，設f(m)=n，則函數y=f(x2)的圖象經過點A(m+2,n)

而y=f(2x)的圖象經過點B(m+2,n)，由于點A與點B是關于x=2對稱的點，

故y=f(x2)與y=f(2x)的圖象關于直線x=2對稱

故②正確；

對于③，設F(x)=f(x+2)，則f(2x)=F(x)，由于F(x)與F(x)圖象關于y軸對稱，

所以函數y=f(x+2)與y=f(2x)的圖象關于y軸對稱，得③正確；

對于④，因為f(x)圖象關于直線對稱，所以f(x)=f(1+x)，

結合函數為奇函數，得f(x)=f(x)，故f(x+1)=f(x)

由此可得f(x+2)=f(x+1)=f(x)，得f(x)是周期為2的周期函數，故④正確；

對于⑤，f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，且g(x)=f(x1)，

則由于g(x)+g(x)=0，得f(x1)+f(x1)=0，

又因為f(x1)=f(x+1)，所以f(x1)+f(x+1)=0，

由此可證出f(x+4)=f(x)，得f(x)是周期為4的周期函數，故⑤不正確

故答案為：①②③④