Question

【題目】設函數，其中．

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，試證明：函數有且僅有兩個零點，且．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先求函數的導數，，然后分情況討論函數的單調性；

（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，根據零點存在性定理討論零點所在的區間，構造，判斷在的單調性，得到,，再根據，根據函數的單調性證明

（1）函數定義域為，，

時，恒成立，故的解集為．

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

時，有兩個實根：-1，．

當時，，令，解得．

故在上單調遞減，在，上單調遞增；

當時，，令，解得．

故在上單調遞減，在，上單調遞增；

當時，恒成立，為上的增函數．

（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增．

故．

又，．

由零點存在性定理知，函數僅有兩個零點，．

令，有．

．

時，，函數單調遞增，所以．

即，又，所以．

，函數在上單調遞減，所以．

所以．