Question

(2006北京西城模擬)設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“①方程f(x)－x=0有實根；②函數f(x)的導數滿足”．

(1)判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質：“若f(x)的定義域為D，則對于任意[m，n]，都存在，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程f(x)－x=0只有一個實數根；

(3)設是方程f(x)－x=0的實數根，求證：對于f(x)定義域中任意的，，當，且時，．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)因為，所以，滿足條件， 又因為當x=0時，f(0)=0，所以方程f(x)－x=0有實數根0． 所以函數是集合M中的元素． (2)假設方程f(x)－x=0存在兩個實數根α，β(α≠β)，則f(α)－α=0，f(β)－β=0，不妨設α＜β，根據題意存在實數，使得等式成立， 因為f(α)=α，f(β)=β，且α≠β，所以， 與已知矛盾，所以方程f(x)－x=0只有一個實數根； (3)不妨設，因為，所以f(x)為增函數，所以，又因為，所以函數f(x)－x為減函數， 所以， 所以，即，， 所以．