Question

(2006北京西城模擬)已知實(shí)數(shù)c≥0，由線與直線l：y=x－c的交點(diǎn)為P(異于原點(diǎn)O)，在曲線C上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于x軸，交直線l于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)，接著過(guò)點(diǎn)作平行于x軸，交直線l于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)，如此下去，可以得到點(diǎn)，，…，，…．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，0＜b＜a．

(1)試用c表示a，并證明a≥1；

(2)試證明，且；

(3)當(dāng)c=0，當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)，滿足方程組，所以，解，得，所以． 因?yàn)?/FONT>c≥0，所以，所以a≥1． (2)由已知，，， 即，，，由(1)， 所以， 因?yàn)椋?/FONT>0＜b＜a，a≥1，所以． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 當(dāng)n=1時(shí)，； 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，，由已知，，， 所以，． 綜上，． (3)當(dāng)c=0時(shí)，，， 所以． 因?yàn)?/FONT>，所以當(dāng)k≥1時(shí)，，所以，， 又， 所以，， 所以，．