Question

【題目】已知函數有兩個不同的極值點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）設，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 當時，有2個零點；當時，有1個零點；當時，沒有零點．

【解析】

(Ⅰ)由題意，求得，令，得，設，轉化為直線y＝a與函數的圖象有兩個不同的交點，利用導數求得函數的單調性與最值，進而求解的取值范圍；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函數的單調性和極值，分類討論，即可確定函數的極值點的個數.

(Ⅰ)由題意，求得，因為有兩個不同的極值點，則有兩個不同的零點．

令，則，即.

設，則直線y＝a與函數的圖象有兩個不同的交點．

因為，由，得ln x＜0，即，所以在上單調遞增，在上單調遞減，從而.

因為當時，；當時，；當時，，

所以a的取值范圍是．

(Ⅱ)因為，為的兩個極值點，則，為直線與曲線的兩個交點的橫坐標．

由(Ⅰ)可知，，且，

因為當或時，，即；當時，，即，

則在，上單調遞減，在上單調遞增，

所以的極小值點為，極大值點為.

當時，因為，，，則，

所以在區間內無零點．

因為，，則

①當，即時，.

又，則，所以

.

此時在和內各有1個零點，且.

②當，即時，，此時在內有1個零點，且.

③當，即時，，此時在內無零點，且.

綜上分析，當時，有2個零點；當時，有1個零點；當時，沒有零點．