Question

【題目】如圖，圓的半徑垂直于直徑， 為上一點(diǎn)， 的延長線交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，連接.

（1）求證： ；

（2）若， ，求的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)1.

【解析】試題分析：

(1)連接ON，由題意結(jié)合弦切角定理即可證得題中的結(jié)論；

(2)解法一：由題意結(jié)合相交弦定理可求得外接圓半徑，則.

解法二：由題意結(jié)合正弦定理求得外接圓半徑，則.

解法三：由題意得到關(guān)于圓的半徑的方程，解方程可得半徑，則.

試題解析：

（1）證明：連接，

∵為的切線，∴90°，

在中，∵，

∴，又∵，

∴，

根據(jù)弦切角定理，得，∴.

（2）解法一：∵，

∴為等邊三角形，∴.

設(shè)的半徑為，

則在直角三角形中，，，，

根據(jù)相交弦定理，，

可得，

即可得，，

∴.

解法二：∵60°，

∴△PMN為等邊三角形，∴，

設(shè)的半徑為r，則在直角三角形中，，，，

又為的外接圓，

由正弦定理可知，，

又，

∴，∴.

解法三：，

設(shè)的半徑為r，則在直角三角形中，，，，

在中，，∴，

又∵，MN=PM=1，

∴，∴，∴.