Question

【題目】如圖，正三棱柱的底面邊長和側棱長都為2，是的中點.

（1）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在指出點在線段上的位置，若不存在，請說明理由；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，點為線段的中點（2）.

【解析】

（1）設的中點為,連接,以為坐標原點,分別以為、、軸建立空間直角坐標系,先求得平面的法向量,若平面平面,則平面,進而求解即可；

（2）由（1），利用與求解即可

（1）證明：存在點為線段的中點,使得平面平面，

設的中點為,連接,

以為坐標原點,分別以為、、軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

因為正三棱柱的底面邊長和側棱長都為2,是的中點,

所以在中,,

則,

所以,

設為平面的法向量,

則即,設,則,所以；

因為,

,所以,

若線段上存在點,使得平面平面,

設點坐標為,則,

因為平面平面,所以也為平面的法向量,即,

則,所以,所以點為線段的中點

（2）解：由（1）得為平面的法向量,,

則,

所以直線與平面所成的角的正弦值為.