Question

【題目】如圖，三棱臺中，，．

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）過作交于點，連接，易證得，進而得到，得到，即，由線面垂直的判定定理得到平面，進而得到；

（2）根據題意，進一步得到，建立如圖空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用公式求得的值，進而得到二面角的余弦值.

（1）過作交于點，連接，

因為，所以，

所以，所以，

所以，即，

因為，所以平面，

又因為平面，所以．

（2）因為，

所以，所以，

所以，因為，

所以，所以．

如圖，以為原點，以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

易知，所以，

所以，

設是平面的一個法向量，

則即

取，

易知平面的一個法向量，

則，

因為二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．