Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．

（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）當三棱錐C﹣PBD的體積等于 時，求PA的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）先證明OM∥PB，再證明OM∥平面PAB; （Ⅱ）先證明BD⊥平面PAC，再證明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根據求出PA的長.

（Ⅰ）

證明：在△PBD中，因為O，M分別是BD，PD的中點，

所以OM∥PB．又OM 平面PAB, PB平面PAB，

所以OM∥平面PAB．

（Ⅱ）因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，

所以BD⊥平面PAC．

又BD平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

（Ⅲ）因為底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，

所以

又 ，三棱錐的高為PA，

所以 ，解得 ．