【題目】已知函數
，
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）設
，當
時，判斷是否存在
使得
，并證明你的結論.
【答案】（1）見解析（2）不存在；見解析
【解析】
（1）先對函數求導，得到
，分別討論
，
兩種情況，分別求解對應的不等式，即可得出結果；
（2）先由（1）得，
，推出
，由
時，
，得到
，分別討論
，兩種情況，通過導數的方法研究函數的最值等，即可得出結果.
（1）
的定義域為
，
由
，得
.
①若，則當時，
，
此時的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
②若，令
，解得
.
當
時，；當
時，
.
此時，的單調遞增區間為
；單調遞減區間為
.
（2）當
時，不存在
，使得
，證明如下：
由（1）知，當
時，在
單調遞增，在
單調遞減，
所以
，故
，即.
因為
，所以當時，，故.
①當時，
再由
令
，則
.
令
，得
.
當
時，
；當
，
.
所以
，故
，
所以當時，對
，都有
.
②當時，對于
，
，故
.
綜合①，②，當時，對于任意的，都有
.
所以，當時，不存在，使得.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻；某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高(單位：cm)服從正態分布，其密度曲線函數為
，則下列說法正確的是（ ）
A.該地水稻的平均株高為100cm
B.該地水稻株高的方差為10
C.隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D.隨機測量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(單位：cm)的概率一樣大
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】湖北七市州高三5月23日聯考后，從全體考生中隨機抽取44名，獲取他們本次考試的數學成績
和物理成績
，繪制成如圖散點圖：
根據散點圖可以看出
與
之間有線性相關關系，但圖中有兩個異常點
．經調查得知，
考生由于重感冒導致物理考試發揮失常，
考生因故未能參加物理考試．為了使分析結果更科學準確，剔除這兩組數據后，對剩下的數據作處理，得到一些統計的值：
其中
，
分別表示這42名同學的數學成績、物理成績，
，2，…，42，與的相關系數
．
（1）若不剔除兩名考生的數據，用44組數據作回歸分析，設此時與的相關系數為
．試判斷與
的大小關系，并說明理由；
（2）求關于的線性回歸方程，并估計如果考生參加了這次物理考試（已知考生的數學成績為125分），物理成績是多少？
（3）從概率統計規律看，本次考試七市州的物理成績
服從正態分布
，以剔除后的物理成績作為樣本，用樣本平均數
作為
的估計值，用樣本方差
作為
的估計值．試求七市州共50000名考生中，物理成績位于區間（62.8，85.2）的人數
的數學期望．
附：①回歸方程
中：
②若
，則
③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點
到準線
的距離為2，直線
與拋物線交于不同的兩點
，
.
（1）求拋物線的方程；
（2）是否存在與
的取值無關的定點
，使得直線
，
的斜率之和恒為定值？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由.
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