Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)存在極小值時(shí)，設(shè)極小值點(diǎn)為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由，可令，然后，，然后通過討論的單調(diào)性，進(jìn)而可以求出的最小值，又由為單調(diào)遞增函數(shù)，即可求解.

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的方法可得出，當(dāng)時(shí)，①，利用，得②，然后，利用①和②可得，，進(jìn)而令函數(shù)，利用的單調(diào)性，即可求證.

解：（Ⅰ）由題意知，

由為增函數(shù)可知恒成立．

設(shè)，，

令得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增．

故，又由為單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，因此，，所以，．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足題意．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知時(shí)，．

又因?yàn)?/span>，，且在上單調(diào)遞減，

所以存在使得，，

令，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故，

又，在上單調(diào)遞增，故存在使得．

因此有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，，利用

將代入消去得，

函數(shù)的對(duì)稱軸為，

故在上單調(diào)遞減，

因此，即成立．