Question

【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于不同的兩點，.

（1）求拋物線的方程；

（2）是否存在與的取值無關的定點，使得直線，的斜率之和恒為定值？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）本題可根據題意得出焦點坐標以及準線方程，然后根據焦點到準線的距離為2即可求出，最后根據即可求出拋物線方程；

（2）本題首先可設出、、，然后聯立方程并通過韋達定理得出，再然后對進行化簡并根據為與無關的常數得出，最后通過計算即可得出結果.

（1）由題意得，準線方程：，所以，拋物線方程為.

（2）假設存在定點滿足題意，設，，，

聯立方程，消去得，由韋達定理得，

因為直線、的斜率為、，

所以

.

要使為與無關的常數，只能，解得，，

此時為常數，

綜上所述，存在定點，使得直線、的斜率之和恒為定值0.