Question

設函數，若在點處的切線斜率為．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）設，若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）實數的取值范圍為．

試題分析：（Ⅰ）設函數，若在點處的切線斜率為，用表示，與函數的切線有關，可考慮利用導數來解，對求導，利用，即可得出；（Ⅱ）若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍，即，這樣轉化為求的最大值，由于含有對數函數，可考慮利用導數來求的最大值，求導得，含有參數，需對參數進行分類討論，分別求出最大值，驗證是否符合題意，從而確定實數的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ），依題意有：； 
（Ⅱ）恒成立．
由恒成立，即．  
，
①當時，，，，單調遞減，當，， 單調遞增，則，不符題意；
②當時，，
（1）若，，，，單調遞減；當，， 單調遞增，則，不符題意；
（2）若，若，，，，單調遞減，
這時，不符題意；
若，，，，單調遞減，這時，不符題意；
若，，，，單調遞增；當，， 單調遞減，則，符合題意；
綜上，得恒成立，實數的取值范圍為．