Question

【題目】已知正四棱柱的底面邊長為2，側棱為上底面上的動點，給出下列四個結論：

①若PD=3，則滿足條件的P點有且只有一個；

②若，則點P的軌跡是一段圓弧；

③若PD∥平面，則DP長的最小值為2；

④若PD∥平面，且，則平面BDP截正四棱柱的外接球所得圖形的面積為．

其中所有正確結論的序號為_____．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由題意畫出圖形，求出D與上底面點的最大值判斷①；由，求得PD1為定值判斷②；找出滿足PD∥平面ACB1的P的軌跡，求出DP長的最小值判斷③；由已知求出正四棱住的外接球的半徑，進一步求出大圓面積判斷④．

如圖，

∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為2，

∴，又側棱AA1＝1，

∴，則P與B1重合時PD＝3，此時P點唯一，故①正確；

∵∈（1，3），DD1＝1，則，即點P的軌跡是一段圓弧，故②正確；

連接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，則當P為A1C1中點時，DP有最小值為，故③錯誤；

由③知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，

其半徑為，面積為，故④正確．

∴正確結論的序號是①②④．

故答案為：①②④．