Question

【題目】已知函數.

（1）求的定義域和值域；

（2）求的單調區間；

（3）設的反函數為，解關于x的方程：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當時，原方程的根為；當時，原方程的根為.

【解析】

（1）先根據真數大于零列不等式，再分和進行討論解得定義域；最后在定義域下求真數范圍，即得的值域；

（2）先確定原函數為指數函數與對數函數的復合，再在定義域下分和進行討論的單調區間；

（3）先求反函數得，再根據對數性質、指數性質解方程得或,最后驗根.

（1）當時，由，即的定義域為；

又且，∴，即的值域為.

同理，當時，的定義域為，值域為.

（2）設，時，是上的減函數，是增函數，故是上的減函數；當時，是上的增函數，是減函數，故是上的減函數.

（3）∵，∴等價于.該方程可化為.

解方程，得或.

經檢驗：當時，原方程的根為；當時，原方程的根為.