Question

【題目】已知橢圓的離心率，直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓交于不同兩點，線段的中垂線為，求直線在軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）且

【解析】

（1）根據直線與圓相切和離心率可構造方程求得，進而得到橢圓標準方程；

（2）設，，與橢圓方程聯立后，利用求得的范圍，并得到韋達定理的形式，利用中點坐標公式表示出點坐標，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數值域的求解方法可求得結果.

（1）直線與圓相切，，解得：，

又，，

橢圓的方程為：；

（2）由題意知：直線的斜率存在且不為零，

設，，，，中點，

聯立消去并整理得：，

由得：或

則，，，

，

則方程為：，即，

化簡得：

令得：（或），，

當時，；當時，；

且，

綜上所述：直線在軸上的截距的取值范圍為且.