Question

【題目】如圖，在三棱臺中，，，，，，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）證法一：在上取點，使，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得平面；

證法二：在平面內過點作，連接，證明出平面平面，再利用面面平行的性質定理可得出平面；

（Ⅱ）連接，推導出平面，可得出，進一步推導出平面，可得出，然后取的中點，連接，推導出，過點作交于點，連接，推導出平面，可得出為直線與平面所成的角，然后通過解三角形可解出的值.

（Ⅰ）證法一：在上取點，使，連接、，

，，且，

由棱臺的性質可知，

且，且，四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，平面；

證法二：在平面內過點作，連接，

，又，且，

四邊形是平行四邊形，．

平面，平面，平面，

又，平面，平面，平面，

，平面平面，

平面，平面；

（Ⅱ）連接，在直角梯形中，，，

，，

又，，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

在中，，，，

由余弦定理得，，，

又，平面，

平面，，

取的中點，連接，

且，四邊形為平行四邊形，則，

，，，

，．

過點作交于點，連接，

平面，平面，，

，且，平面，

為與平面所成的角．

在中，，，

由余弦定理得，則，

，，

因此，與平面所成角的正弦值為．