Question

【題目】已知函數（）的圖象上的動點到原點的距離的平方的最小值為.

（1）求的值；

（2）設，若函數有兩個極值點、，且，證明：.（參考公式：）

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設，表示出，又代入消元，結合基本不等式求出的最小值，列方程得出的值；

（2）由題知，、是方程的兩個均大于－1且不為0的不相等的實根，可由韋達定理或圖象法求得，進而判斷出且，又由，構造新函數，利用導數求出在區間的值域即證得.

解：（1）設在函數的圖象上，

則

即，所以

（2）證明：易得，（且）

所以（且）

令，因為其對稱軸為直線

由題意知、是方程的兩個均大于－1且不為0的不相等的實根，

所以由，得

（法二：因為，，∴，所以，

即，即，又，所以）

因為，∴

又為方程的根，所以

∴

設，

則

因為時，，∴在上單調遞增；

∴當時，且

故