Question

【題目】過拋物線的焦點作傾斜角為45°的直線，直線與拋物線交于，若．

（1）拋物線的方程；

（2）若經過的直線交拋物線于，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據題意可得直線的方程為，再根據韋達定理結合，即可求出；

（2）當直線的斜率不存在求出，當直線的斜率存在，根據韋達定理和中點坐標公式，根據，得出點在線段的中垂線上，求得的值，即可求出直線方程

（1）依題意：，則直線的方程為，

由，消可得，

設，則，

∴，∴，

故拋物線的方程為．

（2）若經過的直線的斜率不存在，此時直線與拋物線交于，則關于軸對稱，滿足，即直線滿足題意．

若經過的直線的斜率存在，設它為，則．

由，消可得

設，則，

∴，∴，

∵，∴點在線段的中垂線上，

即線段的中垂線為：，

即，即

所以直線的方程為即．

故直線的方程為或．