Question

【題目】如圖，四棱錐，底面是邊長為2的菱形， ，且平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若平面與平面的夾角為，試求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）線段的長為.

【解析】試題分析：（1）由已知結合線面垂直的性質可得BD⊥PA，再由四邊形ABCD是菱形，得BD⊥AC，利用線面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，進一步得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）取DC的中點E，由已知可得AE⊥CD，分別以AE、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，設PA=m（m>0）．求出A、P、C、D的坐標，得到平面PCD與平面PAB的法向量，由兩法向量所成角的余弦值列式求得線段PA的長．

試題解析：

（Ⅰ）證明： 平面 ，

四邊形是菱形，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）取的中點，由題易證，分別以為軸，

建立空間直角坐標系 (如圖)，

設．

所以

設平面的法向量為,根據，

得，

令，則．

平面的法向量可取，

由題， ，解得，

所以線段的長為．