【題目】已知函數
.
（1）若函數
與
有相同的極值點（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值），求
的值；
（2）記
.
①若在區間
（
為自然對數底數）上至少存在一點
，使得
成立，求的取值范圍；
②若函數
圖象存在兩條經過原點的切線，求的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）①
或
，②
.
【解析】
（1）利用導數求出
與
的極值點即可；
（2）①轉化為求
在
上恒成立，再求其補集即可，即有
，令
，求導，分
和
討論求值最小值，列不等式求出
的取值范圍，再求其補集即可；
②設切點
，求出切線方程，可把問題轉化為函數
在
上有兩個零點，利用導數，分
，，討論求出單調性和極值，進而可得結果.
（1）因為
，所以
.
令
，解得
（舍去）.
|
| 1 |
|
| + | 0 | - |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
所以
為函數的極大值點.
因為
，所以
.
令
，解得
.
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
所以為函數的極大值點.
因為函數與有相同的極值點，所以.
（2）①
.
先求在上恒成立，即有.
令，則
，令
，得
.
若，則當
時，
單調遞減；
當
時，
單調遞減，所以
，得
.
若時，同理得
，得
.
綜上，的取值范圍為或；
②設切點，
則切線方程為
，又切線過原點，
則
，整理得
設，題意即為，函數在上有兩個零點.
由于
.
（i）當時，
無零點；
（ii）當時，
在上遞減，此時不可能存在兩個零點，故不滿足條件；
（iii）當時，令
，
|
|
|
|
| － | 0 | ＋ |
| ↘ | 極小值 | ↗ |
所以極小值
.
要使函數在上有兩個零點，則必須滿足
，所以
.
因為
在
連續且為增函數，所以在唯一零點.
因為
，而在
連續且為減函數，故在有唯一零點.
所以當時，在有兩個零點，滿足條件.
故所求的取值集合為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為了解本市1萬名小學生的普通話水平，在全市范圍內進行了普通話測試，測試后對每個小學生的普通話測試成績進行統計，發現總體（這1萬名小學生普通話測試成績）服從正態分布
.
（1）從這1萬名小學生中任意抽取1名小學生，求這名小學生的普通話測試成績在
內的概率；
（2）現在從總體中隨機抽取12名小學生的普通話測試成績，對應的數據如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.從這12個數據中隨機選取4個，記
表示大于總體平均分的個數，求的方差.
參考數據：若
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f0(x)＝
(x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數，n∈N*.
(1)求2f1
＋
f2的值；
(2)證明：對任意的n∈N*，等式
＝
都成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的焦點
恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知圓
的切線
（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于
、
兩點，那么以
為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，
是兩個平面，
，
是兩條直線，下列命題錯誤的是（ ）
A.如果
，
，那么
.
B.如果
，
，那么
.
C.如果，，
，那么
.
D.如果內有兩條相交直線與平行，那么.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為
．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程；
（Ⅱ）若曲線C經過伸縮變換
后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．
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