Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點焦點在x軸上，橢圓C上一點A（2，﹣1）到兩焦點距離之和為8.若點B是橢圓C的上頂點，點P，Q是橢圓C上異于點B的任意兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點D在y軸上，求直線BP的方程；

（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經過定點.若經過定點，請求出定點坐標；若不經過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）y＝±x+2（3）經過定點；定點（0，）

【解析】

（1）利用橢圓的定義和待定系數法可求橢圓的方程；

（2）利用BP⊥BQ， 32可得直線的斜率，從而可求直線BP的方程；

（3）先表示直線PQ的方程，結合直線BP與BQ的斜率乘積為常數，建立等量關系進行判定.

（1）由題意設橢圓的方程為：1

由題意知：2a＝8，1，解得：a2＝16，b2＝4，

所以橢圓的方程為：.

（2）由（1）得B（0，2）顯然直線BP的斜率存在且不為零，

設直線BP為：y＝kx+2，與橢圓聯立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x，所以P（，）；

直線BQ：yx+2，代入橢圓中：（4+k2）x2﹣16kx＝0，

同理可得Q（，），由32得，

∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP，

由于D在y軸上，所以xD＝0，∴，解得：k2＝2，所以k，

所以直線BP的方程為：y＝±x+2.

（3）當直線PQ的斜率不存在時，

設直線PQ的方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'），

與橢圓聯立得：4y2＝16﹣t2，yy'，xx'＝t2，kBPkBQ，

要使是一個常數λ，λ＜0，所以不成立.

當直線PQ斜率存在時，設直線PQ的方程為：y＝kx+t，設P（x，y），Q（x'，y'），

與橢圓聯立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x'，xx'，

∴y+y'＝k（x+x'）+2t，，

∴kBPkBQ，

所以由題意得：λ，解得：t，所以不論k為何值，x＝0時，y，

綜上可知直線恒過定點（0，）.