Question

已知A、B、C為△ABC的三個內角，且其對邊分別為a、b、c若

p

=(2cos

B

2

，sin

B

2

)，

q

=(cos

B

2

，-2sin

B

2

)，且

p

•

q

=-1．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2

3

，三角形面積S=

3

，求ac、a+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則計算，再利用二倍角的余弦函數公式化簡求出cosB的值，即可確定出B的度數；
（Ⅱ）利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出關系式，將b，ac的值代入求出a+c的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

p

=（2cos

B

2

，sin

B

2

），

q

=（cos

B

2

，-2sin

B

2

），
∴

p

•

q

=2cos²

B

2

-2sin²

B

2

=2cosB，
又

p

•

q

=-1，
∴cosB=-

1

2

，
又B∈（0，π），
∴B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3

，∴ac=4，
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac，
又b=2

3

，ac=4，
∴16=（a+c）²，
則a+c=4．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，以及三角形的面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．