Question

已知A、B、C為△ABC的三個內角，設f（A，B）=sin²2A+cos²2B-

3

sin2A-cos2B+2．
（1）當f（A，B）取得最小值時，求C的大小；
（2）當C=

π

2

時，記h（A）=f（A，B），試求h（A）的表達式及定義域；
（3）在（2）的條件下，是否存在向量

p

，使得函數h（A）的圖象按向量

p

平移后得到函數g（A）=2cos2A的圖象？若存在，求出向量

p

的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先對已知函數進行配方，結合完全平方數可求當）當f（A，B）取得最小值時，A，B的大小，進而可求C的大小
（2）由（1）中C可求A+B，代入h（A）=f（A，B），結合誘導公式及輔助角公式對已知函數進行化簡，可求
（3）由（2）可求函數h（A）的單調區間，及函數g（A）=2cos2A在相應區間上單調性，根據其單調性是否相同即可判斷

解答：解：（1）配方得f （A，B）=（sin2A-

3

2

）²+（cos2B-

1

2

）²+1，
∴[f （A，B）]_min=1，當且僅當

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

時取得最小值．
在△ABC中，

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

?

A= π 6 B= π 6

 或

A= π 3 B= π 6

故C=

2π

3

或

π

2

．…（6分）
（2）C=

π

2

?A+B=

π

2

，
于是h（A）=f(A，B)=sin22A+cos22B-

3

sin2A-cos2B+2
=sin22A+cos22[

π

2

-A]-

3

sin2A-cos2[

π

2

-A]+2
=cos2A-

3

sin2A+3
=2cos（2A+

π

3

）+3．
∵A+B=

π

2

，∴0＜A＜

π

2

．…（11分）
（3）∵函數h（A）在區間(0，  

π

3

]上是減函數，在區間[

π

3

，  

π

2

)上是增函數；而函數g（A）=2cos2A在區間(0，  

π

2

)上是減函數．
∴函數h（A）的圖象與函數g（A）=2cos2A的圖象不相同，從而不存在滿足條件的向量

p

…（16分）

點評：本題綜合考查了三角函數的誘導公式及輔助角公式及三角函數的單調性等 知識的綜合應用，解答本題要求考生具備綜合應用知識的能力