Question

已知（x+

2

x

）ⁿ展開式中，第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則在（x+

2

x

）ⁿ展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是（　　）

A．第3項(xiàng)

B．第4項(xiàng)

C．第5項(xiàng)

D．第6項(xiàng)

Answer 1

分析：由題意可得 2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，解得 n=7．根據(jù)（x+

2

x

）ⁿ=(x+

2

x

)7的開式的通項(xiàng)公式可得第r+1項(xiàng)的系數(shù)為2^r•

C

r 7

．令

2r •C r 7 ≥2r+1 •C r+1 7 2r •C r 7 ≥2r-1 •C r-1 7

，可得整數(shù)r=5，從而得出結(jié)論．

解答：解：由題意可得 2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，解得 n=7．
在（x+

2

x

）ⁿ=(x+

2

x

)7的開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 7

•x^7-r•2^r•x-

r

2

=2^r•

C

r 7

•x7-

3r

2

，
故第r+1項(xiàng)的系數(shù)為2^r•

C

r 7

．
令

2r •C r 7 ≥2r+1 •C r+1 7 2r •C r 7 ≥2r-1 •C r-1 7

，可得整數(shù)r=5，
故所求的系數(shù)最大項(xiàng)為第六項(xiàng)，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．